Como resolver o problema “quantos triângulos há nesta figura?”

Tenho visto coisas…

triâng

Quantos triângulos há nesta imagem?

Gente maluca que não sabe contar direito! Explico: nesses quebra-cabeças do tipo “quantos triângulos há na figura” que abundam nas redes sociais, as pessoas aparecem com as respostas mais estapafúrdias possíveis, pois têm dificuldade de:
(a) identificar triângulos (ou outra figura geométrica) quando formado por outros triângulos,
(b) visualizar o que já foi contado antes, contabilizando o mesmo triângulo mais de uma vez e
(c) conseguir explicar como chegou ao número de triângulos que diz ter certeza ser o certo.
Bom, então como estas questões às vezes aparecem em concursos, na seção denominada (ridiculamente) de “raciocínio lógico”, resolvi elaborar um método, um sistema que permita não só as pessoas contarem corretamente o número de triângulos (ou quadrados ou retângulos, etc.) corretamente como, também, mostrar e convencer outras pessoas de que sua resposta é a única e certa possível (se você ganhar alguma aposta após usar o meu sistema, por favor, envie 20% dos ganhos pra mim).
Vamos começar com um bem simples: quantos triângulos você vê na figura 01, abaixo?

Figura 01

Figura 01

Por favor, não me decepcione… Só há um triângulo!
Por que eu sei isso? Por que a definição de um triângulo é algo do tipo “figura geométrica com três lados” (onde lado quer dizer uma linha reta, ou seja: não é um triângulo a imagem da figura 02)

Figura 02

Figura 02 – isto não é um triângulo

(Foi apenas uma sobra da pizza que comi outro dia, não é um triângulo)

Vamos começar com algumas definições, pra ajudar: três retas (segmentos de reta, pra ser mais preciso) formam um triângulo (exceto se forem paralelas ou coincidentes), a interseção de 3 retas num plano determinam três pontos, que na figura 03 eu dei os nomes de A, B e C e que chamam-se “vértices”.

triângulo02

Figura 03

 

Segmentos de retas unindo estes três pontos, formam o triângulo da figura 04.
Agora algo MUITO IMPORTANTE: se eu contar 3 vértices em ordem diferente, isto não forma um novo triângulo. Os vértices A, B e C, nesta ordem, formam um único triângulo, independente de eu começar a relacionar os vértices em ordem contrária (A, depois C e depois B) ou se eu começar a contar a partir de outros vértices. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA são as 6 possíveis combinações de vértices, mas todos formam um mesmo triângulo, portanto não devem ser contados como triângulos extras! Para evitar isso, quando tivermos muitos triângulos, usaremos a ordem alfabética das letras que dão nome aos pontos para evitar que contemos duas ou mais vezes o mesmo triângulo.

Figura 04

Figura 04

Outro ponto importante, é que três pontos numa linha reta não formam um triângulo, pois ele teria área de tamanho zero.
Bom, voltemos aos testes: se eu colocar um ponto D no meio do meu primeiro triângulo e traçar retas dos pontos B ao D e do ponto C ao D, ficarei com dois triângulos, certo? Olhe a figura 5.
Observe que se eu combinar, em ordem alfabética, duas das letras (A, B, C ou D), eu só precisarei verificar se as outras letras, em ordem, formam um triângulo. Segundo a matemática, a combinação de 4 elementos 3 a 3 dá 4. Para saber quantas combinações são possíveis a partir de certo número de vértices, veja a postagem http://xek.me/?p=1049.

doistriângulo02

Figura 05

As combinações possíveis para n=4 e p=3 seriam: ABC, ABD, ACD e BCD.
Nesta figura, Começando com A e B, só posso ter as combinações ABC ou ABD, mas somente ABC forma um triângulo, já que não há uma reta entre os pontos A e D. Depois tenho a combinação ACD, que também não forma um triângulo. Eliminando as combinações que agora começam com B, sempre em ordem alfabética, só posso ter BCD como combinação (e este é o nosso segundo triângulo).

Figura 06

Figura 06 – Quantos triângulos você vê?

Vamos tentar o método para um caso mais difícil, veja a figura com 6 pontos, a figura 6. São possíveis um total de 20 combinações, n=6, p=3 e =COMBIN(6,3) dá 20 no sábio Excel.
Tente descobrir quantos triângulos há antes de ver a resposta na figura 7.

respostas

Figura 07

Por fim, o grande problema, o que já caiu em alguns concursos, a pilha de triângulos da figura 8. Quantos triângulos há?
Tente resolver sozinho e depois veja se confere…

quebra-cabeça com triângulos

Figura 08 – Tá difícil?

Então resumindo o método:
1) Crie todas as combinações possíveis de três letras de cada um dos vértices da imagem;
2) Vá descartando as combinações que não formam triângulos por não terem ligações ou por formarem um linha reta.
Ajuda: a resposta do problema da figura 8 passa por verificar as seguintes 455 combinações… Quais delas geram triângulos?

Eis a lista para verificação:
ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ, ABK, ABL, ABM, ABN, ABO, ACD, ACE, ACF, ACG, ACH, ACI, ACJ, ACK, ACL, ACM, ACN, ACO, ADE, ADF, ADG, ADH, ADI, ADJ, ADK, ADL, ADM, ADN, ADO, AEF, AEG, AEH, AEI, AEJ, AEK, AEL, AEM, AEN, AEO, AFG, AFH, AFI, AFJ, AFK, AFL, AFM, AFN, AFO, AGH, AGI, AGJ, AGK, AGL, AGM, AGN, AGO, AHI, AHJ, AHK, AHL, AHM, AHN, AHO, AIJ, AIK, AIL, AIM, AIN, AIO, AJK, AJL, AJM, AJN, AJO, AKL, AKM, AKN, AKO, ALM, ALN, ALO, AMN, AMO, ANO, BCD, BCE, BCF, BCG, BCH, BCI, BCJ, BCK, BCL, BCM, BCN, BCO, BDE, BDF, BDG, BDH, BDI, BDJ, BDK, BDL, BDM, BDN, BDO, BEF, BEG, BEH, BEI, BEJ, BEK, BEL, BEM, BEN, BEO, BFG, BFH, BFI, BFJ, BFK, BFL, BFM, BFN, BFO, BGH, BGI, BGJ, BGK, BGL, BGM, BGN, BGO, BHI, BHJ, BHK, BHL, BHM, BHN, BHO, BIJ, BIK, BIL, BIM, BIN, BIO, BJK, BJL, BJM, BJN, BJO, BKL, BKM, BKN, BKO, BLM, BLN, BLO, BMN, BMO, BNO, CDE, CDF, CDG, CDH, CDI, CDJ, CDK, CDL, CDM, CDN, CDO, CEF, CEG, CEH, CEI, CEJ, CEK, CEL, CEM, CEN, CEO, CFG, CFH, CFI, CFJ, CFK, CFL, CFM, CFN, CFO, CGH, CGI, CGJ, CGK, CGL, CGM, CGN, CGO, CHI, CHJ, CHK, CHL, CHM, CHN, CHO, CIJ, CIK, CIL, CIM, CIN, CIO, CJK, CJL, CJM, CJN, CJO, CKL, CKM, CKN, CKO, CLM, CLN, CLO, CMN, CMO, CNO, DEF, DEG, DEH, DEI, DEJ, DEK, DEL, DEM, DEN, DEO, DFG, DFH, DFI, DFJ, DFK, DFL, DFM, DFN, DFO, DGH, DGI, DGJ, DGK, DGL, DGM, DGN, DGO, DHI, DHJ, DHK, DHL, DHM, DHN, DHO, DIJ, DIK, DIL, DIM, DIN, DIO, DJK, DJL, DJM, DJN, DJO, DKL, DKM, DKN, DKO, DLM, DLN, DLO, DMN, DMO, DNO, EFG, EFH, EFI, EFJ, EFK, EFL, EFM, EFN, EFO, EGH, EGI, EGJ, EGK, EGL, EGM, EGN, EGO, EHI, EHJ, EHK, EHL, EHM, EHN, EHO, EIJ, EIK, EIL, EIM, EIN, EIO, EJK, EJL, EJM, EJN, EJO, EKL, EKM, EKN, EKO, ELM, ELN, ELO, EMN, EMO, ENO, FGH, FGI, FGJ, FGK, FGL, FGM, FGN, FGO, FHI, FHJ, FHK, FHL, FHM, FHN, FHO, FIJ, FIK, FIL, FIM, FIN, FIO, FJK, FJL, FJM, FJN, FJO, FKL, FKM, FKN, FKO, FLM, FLN, FLO, FMN, FMO, FNO, GHI, GHJ, GHK, GHL, GHM, GHN, GHO, GIJ, GIK, GIL, GIM, GIN, GIO, GJK, GJL, GJM, GJN, GJO, GKL, GKM, GKN, GKO, GLM, GLN, GLO, GMN, GMO, GNO, HIJ, HIK, HIL, HIM, HIN, HIO, HJK, HJL, HJM, HJN, HJO, HKL, HKM, HKN, HKO, HLM, HLN, HLO, HMN, HMO, HNO, IJK, IJL, IJM, IJN, IJO, IKL, IKM, IKN, IKO, ILM, ILN, ILO, IMN, IMO, INO, JKL, JKM, JKN, JKO, JLM, JLN, JLO, JMN, JMO, JNO, KLM, KLN, KLO, KMN, KMO, KNO, LMN, LMO, LNO, MNO.

Ok, esse método não se mostrou prático para grande número de triângulos, mas podia ser pior, com retângulos ficaria muito mais doido! Pelo menos o sujeito que disser que viu 51 triângulos (que não é a resposta certa) vai poder enumerar os vértices pelo nosso método antes de tentar nos convencer que sabe mais do que a gente…

Resposta:

ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ, ABK, ABL, ABM, ABN, ABO, ACD, ACE, ACF, ACG, ACH, ACI, ACJ, ACK, ACL, ACM, ACN, ACO, ADE, ADF, ADG, ADH, ADI, ADJ, ADK, ADL, ADM, ADN, ADO, AEF, AEG, AEH, AEI, AEJ, AEK, AEL, AEM, AEN, AEO, AFG, AFH, AFI, AFJ, AFK, AFL, AFM, AFN, AFO, AGH, AGI, AGJ, AGK, AGL, AGM, AGN, AGO, AHI, AHJ, AHK, AHL, AHM, AHN, AHO, AIJ, AIK, AIL, AIM, AIN, AIO, AJK, AJL, AJM, AJN, AJO, AKL, AKM, AKN, AKO, ALM, ALN, ALO, AMN, AMO, ANO, BCD, BCE, BCF, BCG, BCH, BCI, BCJ, BCK, BCL, BCM, BCN, BCO, BDE, BDF, BDG, BDH, BDI, BDJ, BDK, BDL, BDM, BDN, BDO, BEF, BEG, BEH, BEI, BEJ, BEK, BEL, BEM, BEN, BEO, BFG, BFH, BFI, BFJ, BFK, BFL, BFM, BFN, BFO, BGH, BGI, BGJ, BGK, BGL, BGM, BGN, BGO, BHI, BHJ, BHK, BHL, BHM, BHN, BHO, BIJ, BIK, BIL, BIM, BIN, BIO, BJK, BJL, BJM, BJN, BJO, BKL, BKM, BKN, BKO, BLM, BLN, BLO, BMN, BMO, BNO, CDE, CDF, CDG, CDH, CDI, CDJ, CDK, CDL, CDM, CDN, CDO, CEF, CEG, CEH, CEI, CEJ, CEK, CEL, CEM, CEN, CEO, CFG, CFH, CFI, CFJ, CFK, CFL, CFM, CFN, CFO, CGH, CGI, CGJ, CGK, CGL, CGM, CGN, CGO, CHI, CHJ, CHK, CHL, CHM, CHN, CHO, CIJ, CIK, CIL, CIM, CIN, CIO, CJK, CJL, CJM, CJN, CJO, CKL, CKM, CKN, CKO, CLM, CLN, CLO, CMN, CMO, CNO, DEF, DEG, DEH, DEI, DEJ, DEK, DEL, DEM, DEN, DEO, DFG, DFH, DFI, DFJ, DFK, DFL, DFM, DFN, DFO, DGH, DGI, DGJ, DGK, DGL, DGM, DGN, DGO, DHI, DHJ, DHK, DHL, DHM, DHN, DHO, DIJ, DIK, DIL, DIM, DIN, DIO, DJK, DJL, DJM, DJN, DJO, DKL, DKM, DKN, DKO, DLM, DLN, DLO, DMN, DMO, DNO, EFG, EFH, EFI, EFJ, EFK, EFL, EFM, EFN, EFO, EGH, EGI, EGJ, EGK, EGL, EGM, EGN, EGO, EHI, EHJ, EHK, EHL, EHM, EHN, EHO, EIJ, EIK, EIL, EIM, EIN, EIO, EJK, EJL, EJM, EJN, EJO, EKL, EKM, EKN, EKO, ELM, ELN, ELO, EMN, EMO, ENO, FGH, FGI, FGJ, FGK, FGL, FGM, FGN, FGO, FHI, FHJ, FHK, FHL, FHM, FHN, FHO, FIJ, FIK, FIL, FIM, FIN, FIO, FJK, FJL, FJM, FJN, FJO, FKL, FKM, FKN, FKO, FLM, FLN, FLO, FMN, FMO, FNO, GHI, GHJ, GHK, GHL, GHM, GHN, GHO, GIJ, GIK, GIL, GIM, GIN, GIO, GJK, GJL, GJM, GJN, GJO, GKL, GKM, GKN, GKO, GLM, GLN, GLO, GMN, GMO, GNO, HIJ, HIK, HIL, HIM, HIN, HIO, HJK, HJL, HJM, HJN, HJO, HKL, HKM, HKN, HKO, HLM, HLN, HLO, HMN, HMO, HNO, IJK, IJL, IJM, IJN, IJO, IKL, IKM, IKN, IKO, ILM, ILN, ILO, IMN, IMO, INO, JKL, JKM, JKN, JKO, JLM, JLN, JLO, JMN, JMO, JNO, KLM, KLN, KLO, KMN, KMO, KNO, LMN, LMO, LNO, MNO.

Pesquisa mostra que video game está ligado à criatividade

Link original (em inglês) – ScienceDaily – http://www.sciencedaily.com/releases/2011/11/111102125355.htm

Meninos e meninas que jogam videogames tendem a ser mais criativos, independentemente dos jogos serem violentos ou não violentos, de acordo com pesquisa realizada por pesquisadores da Michigan State University.

Um estudo com quase 500 crianças de até 12 anos descobriu que, quanto mais jogam jogos de video game, mais criatividade apresentam em tarefas como desenhar e escrever histórias. Por outro lado, o uso de telefones celulares, a Internet e os computadores (que não seja para jogos) não influencia no aumento da criatividade, descobriu o estudo.

Linda Jackson, professora de psicologia e principal pesquisadora do projeto, disse que o estudo parece ser a primeira demonstração baseada em evidências de uma relação entre o uso de tecnologia e criatividade.

As descobertas da Michigan State University devem motivar os designers de jogos para identificar os aspectos da atividade de jogos de vídeo que são responsáveis pelos efeitos criativos, disse Jackson.

“Sabendo que os jogos fazem isso, os vídeogames podem ser projetados para otimizar o desenvolvimento da criatividade, mantendo seus valores de entretenimento, de tal modo que uma nova geração de videogames possa terminar com a diferença entre educação e entretenimento”, disse Jackson.

Os pesquisadores entrevistaram 491 estudantes do ensino médio como parte da pesquisa, que é financiado pela National Science Foundation. A pesquisa avaliou a freqüência com que os alunos usaram diferentes formas de tecnologia e avaliaram a sua criatividade com o “Teste de Torrance” de criatividade por figuras, teste que é amplamente utilizado para medir a criatividade.

O estudo constatou uma relação entre jogar videogame e uma maior criatividade, independentemente de gênero, raça ou tipo de jogo jogado pelos alunos.

Jogadores de Computador ajudam a Resolver Problemas da Ciência Médica

Os resultados da utilização de jogadores de computador em uma experiência para resolver difíceis problemas com proteínas que computadores tinham dificuldade em realizar saiu nesta quinta-feira, dia 5 de agosto de 2010.

Bioquímicos e cientistas da computação da Universidade de Washington lançaram, há dois anos, um projecto ambicioso para aproveitar os recursos intelectuais de jogadores de computador para resolver problemas médicos.

O jogo “Foldit” torna um dos maiores problemas da biologia molecular em um jogo que lembra um pouco de Tetris. Milhares de pessoas já jogaram um jogo que pede para remodelar uma proteína, ao invés de empilhar blocos ou resgatar uma princesa.

Os resultados publicados  na revista Nature mostram que o jogo “Foldit” é um sucesso. As pessoas podem concorrer com supercomputadores nesta arena. Análises mostram que os jogadores superaram os computadores nos problemas que exigiam movimentos radicais, riscos e planejamento de longo prazo – os tipos de qualidades que não possuem computadores. Milhares de computadores estão trabalhando no mesmo cálculo proposto pelo jogo, mas nenhum computador no mundo é bom o suficiente, e os computadores não sabem assumir a abordagem inteligente.

Segundo o principal pesquisador Zoran Popovic, um professor adjunto de Ciências da Computação e Engenharia, “As pessoas na comunidade científica ouviram falar do Foldit por algum tempo e todo mundo achava que era uma ótima idéia, mas a questão realmente fundamental na maioria das mentes dos cientistas era: O que o jogo pode produzir em termos de resultados? Existe alguma evidência de que é fazer algo de útil? Espero que este trabalho venha a convencer um monte de pessoas  e todo o gênero de jogos de descoberta científica venha realmente decolar “.

Dezenas de milhares de jogadores aceitaram o desafio, o artigo agradece a mais de 57 mil jogadores de Foldit, algo sem precedentes numa publicação científica.

O website do Foldit é http://fold.it.
Videos do Foldit no YouTube http://www.youtube.com/user/uwfoldit
O artigo na Nature é http://dx.doi.org/10.1038/nature09304.
Fonte: “Gaming for a cure: Computer gamers tackle protein folding” – http://uwnews.org/article.asp?articleid=59530

Jogos e Testes para Treinamento em Excel

Desenvolvi para os meus alunos, nesse semestre, dois jogos (que não passam de testes disfarçados) e uma prova simulada que permitem os alunos brincarem, ter dúvidas, medirem seus conhecimentos e todas essas coisas que os testes e jogos temáticos permitem.

Eu desenvolvia jogos educativos nos anos 90 (no século XX, antes de começar meu mestrado em Inteligência Artificial) e fazia tempo que não programava nada nesta área. Foi gratificante ver que os alunos, em sua maioria, não só gostaram dos programinhas, como também manifestaram o interesse em ver suas outras disciplinas da faculdade usando jogos desse tipo. Pena que os outros professores para quem mostrei os programas não mostraram nenhum interesse!

Mas, entendo, o tema “jogos” e “alunos adultos” parece não combinar, existe uma regra implícita que diz que alunos de faculdade e universidade não devem ser submetidos a “joguinhos”. Para os céticos, só posso dizer que nas turmas em que os jogos foram aplicados, a média das notas da prova seguinte foi superios às turmas em que apenas uma revisão e aula de dúvidas antecedeu às provas.

Bom, aí vão os links que estão na minha página de aulas da FAPA em http://www.naotemnome.com/:

Apanhei da Planilha, é o mais básico, se apanhar da planilha, tem de começar tudo de novo: http://www.naotemnome.com/fapa/_lista27/ApanheiDaPlanilha.zip

Jogo do Milhão: interaja com uma espiga, nos mesmos moldes do jogo anterior, pega um Excel um pouco mais avançado (funções condicionais como somase, cont.se, se, etc.), inclui perguntas não só de Excel, mas de Power Point e Word, mas a maioria é sobre planilha:

http://www.naotemnome.com/fapa/_lista27/jogodomilhao.zip

Por fim, uma prova simulada, onde cada erro conta como pontos negativos (inclui perguntas de Power Point e Word):

http://www.naotemnome.com/fapa/_lista27/FInal_Sim.zip

Observação: o conteúdo (exercícios de Excel, Power Point e Word) destes testes está em http://www.naotemnome.com/fapa/

Se alguém tiver sugestões para criação de jogos na mesma linha, entre em contato! Quem sabe não rola uma parceria para novas versões?