Excel – Arranjo Simples: Análise Combinatória

Como eu resolvo questões de análise combinatória na versão 2010 do Excel – ARRANJO simples sem repetições?

Na última postagem (http://xek.me/?p=1049) eu mostrei como calcular combinações simples no Excel com a função COMBIN. Entretanto, se eu quiser calcular um arranjo, como faço? O Excel não tem uma função chamada ARRANJO!

8 primeiras letras do alfabetoPor exemplo: “Criei uma senha de 5 letras maiúsculas a partir das primeiras 8 letras do alfabeto. Entretanto, esqueci minha senha! Quero, por tentativa e erro, descobrir a senha que eu criei e esqueci. Quantas possíveis senhas diferentes existem para serem tentadas?”

Este é um problema de Excel – ARRANJO e não de COMBINAÇÃO, porque além de pegar um subconjunto de 5 letras de um conjunto de 8 (que como visto na postagem anterior seriam apenas 56 combinações), cada subconjunto formado pode sofrer uma permutação e será uma nova senha! ABCDE será diferente de BCDEA que será diferente de ABCED, etc. Serão 120 permutações para cada subconjunto!

Bom, o problema é que na hora de traduzir, ao invés de usar o nome ARRANJO, usaram PERMUT, que lembra permutação. A permutação é um caso de arranjo em que estamos usando todos os elementos de um conjunto (e que, igualmente, portanto, a ordem importa). A fórmula do arranjo, na matemática e a função que a calcula no Excel podem ser vistas abaixo:

Excel - Arranjo

Excel – Arranjo Simples

Como usar no EXCEL?

Simples: coloque na célula A2 o valor de n e na célula B2 o valor de p, no nosso exemplo, 8 e 5. Na célula C coloque a fórmula =PERMUT(A2;B2) conforme a imagem:

arranjo no excel

Função permut calcula arranjos

Assim que for teclado Enter, deve aparecer o resultado. Não fique chocado ao saber que mesmo usando letras maiúsculas numa senha de 5 letras que utiliza apenas as 8 primeiras letras do alfabeto, o número de senhas possíveis é enorme! O resultado também poderia ser obtido a partir do número de combinações (que era 56) multiplicado pelas permutações possíveis de cada grupo de 5 letras, ou seja, a permutação de 5 elementos dá o o fatorial de 5 (que é 120). 56*120 é o número de senhas possíveis para este problema, vai levar um bom tempo para testar todas as senhas… Mas nem são muitas, se conseguir testar uma senha a cada 10 segundos consegue achar a senha em menos de 10 horas… :-)

Que outros problemas resolvo com a fórmula do ARRANJO?

Exemplos de problemas:

1) Quantas ordenações de 4 cartas são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas em que a ordem das cartas tiradas tenha importância (n=52 e p=4);

2) A partir de um nome de 4 letras que não possua letras repetidas (Jaci, Igor, Gina, etc.) quantas “palavras” diferentes de 2 letras posso formar – supor que cada 2 letras forma uma palavra, mesmo que não tenha sentido (n=4 e p=2);

3) Considerando todas as vogais de nosso alfabeto, quantos são os encontros vocálicos (2 vogais) de vogais diferentes que são possíveis na nossa língua (n=5 p=2);

4) 10 seleções participam de uma fase eliminatória para a Copa do Mundo de Futebol, quantos possíveis jogos inaugurais posso ter, sabendo que cada jogo tem 2 seleções e que a primeira seleção escolhida tem o mando de campo (n=10 e p=2);

5) Considerando uma corrida de Fórmula 1 com 20 participantes, quais o número total de possibilidades diferentes de 3 pilotos ocuparem o pódio? Lembre que o pódio tem 3 lugares diferentes (n=20 e p=3);

6) Uma ilha tem 7 pontes, qual é o número total de maneiras distintas de chegar na ilha e sair por uma ponte diferente (n=7 e p=2).

Existem ainda casos de Arranjos com repetição (eu poderia usar letras repetidas na minha senha, por exemplo) que veremos em uma próxima oportunidade (ver postagem http://xek.me/?p=1097).

Na próxima postagem abordaremos o caso mais simples de ser resolvido no Excel – permutação. Já adiantando o que veremos na próxima postagem, num arranjo, quando n e p são iguais, temos um caso de permutação: http://xek.me/?p=1077

5 thoughts on “Excel – Arranjo Simples: Análise Combinatória

  1. Bom Dia Professor!!!Gostaria se possível de uma ajuda para criar combinações para organizar a rotina de nossa escola. Por exemplo: temos 20 salas e temos as rotinas video, parque1, parque2, piscina, brinquedoteca, entre outras; nessas 20 salas existem berçario, Maternal I, Maternal II e Maternal III; então preciso combinar essas rotinas para que não choquem entre as salas, ou seja, preciso organizar essas rotinas, seria possível combiná-las através do excel???Vc poderia me ajudar???Aguardo Respostas.

    • O Excel é feito para armazenar informações e fazer cálculos e, por princípio, não existe um jeito trivial ou uma rotina simples para criar as combinações no Excel… Entretanto, contradizendo isto, as combinações de letras que eu coloquei nas diversas postagens em formas de imagens, eu fiz no Excel, então, sim, é possível fazer, mas é mais uma questão de arte e desafio do que algo que eu posso mostrar em uma postagem ou explicar facilmente… Seria mais fácil para mim tentar resolver o teu problema se eu conseguisse visualizar todas as atividades, mas imagino que, tendo a lista de salas (na vertical, por exemplo, uma em cada linha) eu tentaria apenas fazer a “rotação” das atividades que estão na linha superior da seguinte maneira: colocaria uma letra diferente em cada coluna da linha da primeira sala para representar as diferentes rotinas em cada horário (por exemplo, ABCDE, cada letra em uma coluna, representando atividade A na primeira hora, atividade B na segunda, etc.) e aí, na linha de baixo, escreveria =E1 =B1 =C1 =D1 =A1 em cada uma das células da linha 2. depois eu “puxaria” tudo para as outras salas…

  2. Estou com uma duvida no Excel que acredito não ser das mais complicadas porem não encontrei nada sobre isso na internet.
    Eu preciso calcular os resultados possíveis de varias partidas de futebol por exemplo 13 jogos

    Exemplo:
    Jogo 01 – 1 X 2
    jogo 02 – 1 X 2
    jogo 03 – 1 X 2
    jogo 04 – 1 X 2
    jogo 05 – 1 X 2
    jogo 06 – 1 X 2
    jogo 07 – 1 X 2
    jogo 08 – 1 X 2
    jogo 09 – 1 X 2
    jogo 10 – 1 X 2
    jogo 11 – 1 X 2
    jogo 12 – 1 X 2
    jogo 13 – 1 X 2

    neste caso os jogadores não jogam entre si, somente os atuais adversários. Todos os jogos acontecem ao mesmo tempo e quero prever os possíveis

    resultados para todos os jogos, por exemplo: jogo 01 = vencedor 1 – jogo 02 = X empate – jogo03 = a vencedor 2 – jogo04= X empate … etc

    e assim todos os resultados possíveis, não de um jogo apenas mas de todos os jogos juntos. até se esgotarem as possibilidades de combinações
    dos resultados sem repetir nenhum.

    • Isso dá 3 elevado na potência 13… 1.594.323 possibilidades… são 13 linhas de jogos, o que daria um arquivo de mais de 20 milhões de linhas ou, a 40 linhas por página, um livro de umas 500 mil páginas… Meio difícil de imprimir isso, né?

  3. Olá Professor!
    Boa Noite.
    Gostaria se possível de uma planilha que me dê todas as combinações possíveis de seis números para extração da megassena, onde apareça sempre três dezenas pares e três ímpares.
    Grato.
    Williams.

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