Análise Combinatória no Excel 2010: Combinação, Arranjo ou Permutação

Análise Combinatória no Excel: Como diferencio quando é combinação, arranjo ou permutação, se é simples ou com repetição para calcular no Excel?

abcdDificilmente sem alguma prática conseguimos diferenciar os casos de repetição dos casos simples, dos casos de arranjo dos casos de combinação e assim por diante. É preciso um pouquinho de estudo e paciência para conseguir identificar cada caso! Vou tentar mostrar exemplos aqui e pra começar vamos tentar investigar essas diferenças. Análise Combinatória no Excel é o tema desta postagem e das últimas 4 postagens, por sinal. São elas (clique nos títulos para ver as postagens):

Combinação e Arranjo Com Repetição no Excel 2010

Permutação no Excel 2010 – Análise Combinatória

Excel – Arranjo Simples: Análise Combinatória

Análise Combinatória no Excel – Combinação Simples

Tabela completa de fórmulas

Em primeiro lugar, é hora de revisar todas as fórmulas usadas nas últimas postagens. Aqui vai o resumo de tudo:

tabela fórmulas análise combinatória Excelpermutação de bolas de 4 coresCom a tabela acima resolvemos QUASE todos os casos de Análise Combinatória no Excel, faltando alguns casos em que o problema requer raciocínio mais do que fórmulas (por isso não abordaremos aqui)

Bom, vamos começar pelo caso mais simples: permutação. Permutação é quando troco tudo de lugar e como estou usando todos os elementos de um conjunto. Também posso imaginar a permutação como um arranjo em que n=p, assim fica menos uma fórmula para decorar… De qualquer forma, imagine as 4 primeiras letras do alfabeto: se eu trocar todas de lugar, quantas possibilidades eu tenho? Ora, apenas trocando todas de lugar, é um caso de permutação simples (ou arranjo simples onde n=p=4), como visto em outra postagem, obterei as seguintes 24 combinações mostradas ao lado.

Um caso mais complicado, seria uma permutação com repetição, (não mostrada na postagem anterior sobre repetições e nem na postagem sobre permutações), que é, na verdade, um arranjo com repetição em que n=p. Por exemplo, quando quero formar uma senha com as 4 primeiras letras do alfabeto; uma senha permite a repetição de letras e trocando elas de ordem tenho outra senha diferente. Usando a fórmula mostrada na tabela acima para arranjos com repetição, coloque no Excel em qualquer célula a fórmula =POTÊNCIA(4;4) e obteremos a resposta 256,  que é 4 elevado na quarta potência. Quer saber quais são todas as 256 senhas possíveis? Estão aqui: AAAA, AAAB, AAAC, AAAD, AABA, AABB, AABC, AABD, AACA, AACB, AACC, AACD, AADA, AADB, AADC, AADD, ABAA, ABAB, ABAC, ABAD, ABBA, ABBB, ABBC, ABBD, ABCA, ABCB, ABCC, ABCD, ABDA, ABDB, ABDC, ABDD, ACAA, ACAB, ACAC, ACAD, ACBA, ACBB, ACBC, ACBD, ACCA, ACCB, ACCC, ACCD, ACDA, ACDB, ACDC, ACDD, ADAA, ADAB, ADAC, ADAD, ADBA, ADBB, ADBC, ADBD, ADCA, ADCB, ADCC, ADCD, ADDA, ADDB, ADDC, ADDD, BAAA, BAAB, BAAC, BAAD, BABA, BABB, BABC, BABD, BACA, BACB, BACC, BACD, BADA, BADB, BADC, BADD, BBAA, BBAB, BBAC, BBAD, BBBA, BBBB, BBBC, BBBD, BBCA, BBCB, BBCC, BBCD, BBDA, BBDB, BBDC, BBDD, BCAA, BCAB, BCAC, BCAD, BCBA, BCBB, BCBC, BCBD, BCCA, BCCB, BCCC, BCCD, BCDA, BCDB, BCDC, BCDD, BDAA, BDAB, BDAC, BDAD, BDBA, BDBB, BDBC, BDBD, BDCA, BDCB, BDCC, BDCD, BDDA, BDDB, BDDC, BDDD, CAAA, CAAB, CAAC, CAAD, CABA, CABB, CABC, CABD, CACA, CACB, CACC, CACD, CADA, CADB, CADC, CADD, CBAA, CBAB, CBAC, CBAD, CBBA, CBBB, CBBC, CBBD, CBCA, CBCB, CBCC, CBCD, CBDA, CBDB, CBDC, CBDD, CCAA, CCAB, CCAC, CCAD, CCBA, CCBB, CCBC, CCBD, CCCA, CCCB, CCCC, CCCD, CCDA, CCDB, CCDC, CCDD, CDAA, CDAB, CDAC, CDAD, CDBA, CDBB, CDBC, CDBD, CDCA, CDCB, CDCC, CDCD, CDDA, CDDB, CDDC, CDDD, DAAA, DAAB, DAAC, DAAD, DABA, DABB, DABC, DABD, DACA, DACB, DACC, DACD, DADA, DADB, DADC, DADD, DBAA, DBAB, DBAC, DBAD, DBBA, DBBB, DBBC, DBBD, DBCA, DBCB, DBCC, DBCD, DBDA, DBDB, DBDC, DBDD, DCAA, DCAB, DCAC, DCAD, DCBA, DCBB, DCBC, DCBD, DCCA, DCCB, DCCC, DCCD, DCDA, DCDB, DCDC, DCDD, DDAA, DDAB, DDAC, DDAD, DDBA, DDBB, DDBC, DDBD, DDCA, DDCB, DDCC, DDCD, DDDA, DDDB, DDDC e DDDD

Observe que no caso anterior, se levássemos em consideração que numa senha as letras podem ser maiúsculas ou minúsculas, teríamos arranjo com repetição usando as letras a, b, c, d, A, B, C ou D em que n=8 e p=4 e  a fórmula ficaria =POTÊNCIA(8;4), dando um total de 4096 senhas diferentes. É por isso que é muito importante usarmos combinações de maiúsculas e minúsculas ao criar uma senha, fica muito mais difícil de alguém descobrir! Não vou listar aqui as 4096 senhas, porque iria ocupar muito espaço… :-)

Para diferenciar entre ARRANJO COM REPETIÇÃO de ARRANJO SIMPLES de COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO de COMBINAÇÃO SIMPLES montei o seguinte esquema: quero obter, ainda com as 4 primeiras letras do alfabeto, todas as senhas possíveis de 2 letras. Como já vimos na postagem sobre Arranjos com Repetição (http://xek.me/?p=1097), a fórmula é =POTÊNCIA(4;2) no Excel…

Eis todas as 16 possíveis senhas:

arranjo com repetição

tabela 1

O que fizemos foi, praticamente, um “produto cartesiano” de dois conjuntos com as mesmas 4 letras em cada um. Agora imagine que a partir do arranjo com repetições acima gostaríamos de ter um arranjo sem repetições, o que mudaria? Teríamos de retirar  da tabela acima as letras que aparecem repetidas, AA, BB, CC e DD, que são as linhas (I), (VI), (XI) e (XVI) e ficaríamos com:

arranjo simples 2 a 2

tabela 2

Note que o cálculo de =PERMUT(4;2) no Excel vai dar 12, que é o que esperávamos para a tabela acima de arranjos sem repetição, conforme vimos na postagem sobre arranjos simples (http://xek.me/?p=1057).

Agora pegue novamente a tabela 1 com seus 16 arranjos com repetição e suponha que queremos as COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO. O que teria de sair da tabela 1? Sabemos que, neste caso, uma combinação “AB” será igual a “BA”, por exemplo. Teremos de tirar todos os caso da tabela em que uma dupla aparece novamente, só que invertida. Ou seja teríamos de tirar (V), (IX), (X), (XIII), (XIV) e  o (XV) que correspondem aos arranjos BA, CA, CB, DA, DB e DC e ficaríamos com:

arranjo simples

tabela 3

A COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO não tem uma função própria no Excel, precisamos montar uma fórmula. Para isto, devemos usar =FATORIAL(4+2-1) / (FATORIAL(2) * FATORIAL(4-1)) no Excel ou, dependendo da versão, =FATO(4+2-1) / (FATO(2) * FATO(4-1))). Vimos este cálculo na postagem anterior quando mostramos vários problemas de Arranjos e Combinações com Repetição (http://xek.me/?p=1097).

Em uma próxima postagem, onde falaremos sobre criação de funções definidas pelo usuário, mostraremos como criar uma função par calcular a combinação com repetição.

Esta tabela 3, acima, da COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO ainda pode ser alvo de uma nova modificação. Pegue esta tabela 3 e retire todas as repetições, ou seja, retire AA, BB, CC e DD, que são as linhas (I), (VI), (XI) e (XVI) e ficaremos com a COMBINAÇÃO SIMPLES:

combinação simples

tabela 4

Como vimos na postagem sobre COMBINAÇÃO SIMPLES, o cálculo no Excel é feito com =COMBIN(4;2) em alguma célula da planilha e resultará no número 6. Para detalhes adicionais, dê uma revisada na nossa primeira postagem sobre Análise Combinatória no Excel – Combinação Simples em http://xek.me/?p=1049.

Espero que a explanação acima sobre Análise Combinatória no Excel tenha ajudado!

Um último problema

Imagine o seguinte cenário: você precisa saber quantos jogos são possíveis de serem realizados entre 4 times, é Combinação, Arranjo, Simples ou com Repetição? Há duas respostas possíveis. Em primeiro lugar sabemos que não há repetição, já que um time não joga contra ele mesmo. Em segundo lugar, precisamos considerar se um jogo AxB é o mesmo jogo BxA. Se considerarmos que A versus B é diferente de B versus A porque o time citado em primeiro tem o mando de campo, teremos um arranjo pois, se a ordem não importasse seria combinação, mas como a ordem fará diferença, é um arranjo simples. No Excel isso seria o resultado da tabela 2, que já calculamos.

Na próxima postagem, onde falaremos sobre criação de funções definidas pelo usuário criaremos uma função par calcular a combinação com repetição.

4 thoughts on “Análise Combinatória no Excel 2010: Combinação, Arranjo ou Permutação

  1. Boa noite, tenho um problema que não consigo resolver.
    tenho nove dezenas ( 01,02,03,04,05,06,07,08,09) preciso fazer uma combinação de cinco dezenas, porem com algumas regras : entre grupos de dezenas combinadas tem que haver tres espaçamentos , sendo um espaçamento de duas dezenas e um espaçamento de uma dezena. ex;
    01,02 é um espaçamento 03 é um numero da combinação, 04 um espaçamento, 05 é um numero da combinação, 06 é um espaçamento, 07, 08,09 são numeros da combinação.
    minha pergunta é : como consigo calcular quantas combinações são possiveis e como gerar essas combinações?

    • 126 COMBINAÇÕES
      E1 = Espaçamento 1
      E2 = Espaçamento 2
      E4 = Espaçamento 4
      E6 = Espaçamento 6

      veja resultado

      E1 E2 3 E4 5
      E1 E2 3 E4 E6
      E1 E2 3 E4 7
      E1 E2 3 E4 8
      E1 E2 3 E4 9
      E1 E2 3 5 E6
      E1 E2 3 5 7
      E1 E2 3 5 8
      E1 E2 3 5 9
      E1 E2 3 E6 7
      E1 E2 3 E6 8
      E1 E2 3 E6 9
      E1 E2 3 7 8
      E1 E2 3 7 9
      E1 E2 3 8 9
      E1 E2 E4 5 E6
      E1 E2 E4 5 7
      E1 E2 E4 5 8
      E1 E2 E4 5 9
      E1 E2 E4 E6 7
      E1 E2 E4 E6 8
      E1 E2 E4 E6 9
      E1 E2 E4 7 8
      E1 E2 E4 7 9
      E1 E2 E4 8 9
      E1 E2 5 E6 7
      E1 E2 5 E6 8
      E1 E2 5 E6 9
      E1 E2 5 7 8
      E1 E2 5 7 9
      E1 E2 5 8 9
      E1 E2 E6 7 8
      E1 E2 E6 7 9
      E1 E2 E6 8 9
      E1 E2 7 8 9
      E1 3 E4 5 E6
      E1 3 E4 5 7
      E1 3 E4 5 8
      E1 3 E4 5 9
      E1 3 E4 E6 7
      E1 3 E4 E6 8
      E1 3 E4 E6 9
      E1 3 E4 7 8
      E1 3 E4 7 9
      E1 3 E4 8 9
      E1 3 5 E6 7
      E1 3 5 E6 8
      E1 3 5 E6 9
      E1 3 5 7 8
      E1 3 5 7 9
      E1 3 5 8 9
      E1 3 E6 7 8
      E1 3 E6 7 9
      E1 3 E6 8 9
      E1 3 7 8 9
      E1 E4 5 E6 7
      E1 E4 5 E6 8
      E1 E4 5 E6 9
      E1 E4 5 7 8
      E1 E4 5 7 9
      E1 E4 5 8 9
      E1 E4 E6 7 8
      E1 E4 E6 7 9
      E1 E4 E6 8 9
      E1 E4 7 8 9
      E1 5 E6 7 8
      E1 5 E6 7 9
      E1 5 E6 8 9
      E1 5 7 8 9
      E1 E6 7 8 9
      E2 3 E4 5 E6
      E2 3 E4 5 7
      E2 3 E4 5 8
      E2 3 E4 5 9
      E2 3 E4 E6 7
      E2 3 E4 E6 8
      E2 3 E4 E6 9
      E2 3 E4 7 8
      E2 3 E4 7 9
      E2 3 E4 8 9
      E2 3 5 E6 7
      E2 3 5 E6 8
      E2 3 5 E6 9
      E2 3 5 7 8
      E2 3 5 7 9
      E2 3 5 8 9
      E2 3 E6 7 8
      E2 3 E6 7 9
      E2 3 E6 8 9
      E2 3 7 8 9
      E2 E4 5 E6 7
      E2 E4 5 E6 8
      E2 E4 5 E6 9
      E2 E4 5 7 8
      E2 E4 5 7 9
      E2 E4 5 8 9
      E2 E4 E6 7 8
      E2 E4 E6 7 9
      E2 E4 E6 8 9
      E2 E4 7 8 9
      E2 5 E6 7 8
      E2 5 E6 7 9
      E2 5 E6 8 9
      E2 5 7 8 9
      E2 E6 7 8 9
      3 E4 5 E6 7
      3 E4 5 E6 8
      3 E4 5 E6 9
      3 E4 5 7 8
      3 E4 5 7 9
      3 E4 5 8 9
      3 E4 E6 7 8
      3 E4 E6 7 9
      3 E4 E6 8 9
      3 E4 7 8 9
      3 5 E6 7 8
      3 5 E6 7 9
      3 5 E6 8 9
      3 5 7 8 9
      3 E6 7 8 9
      E4 5 E6 7 8
      E4 5 E6 7 9
      E4 5 E6 8 9
      E4 5 7 8 9
      E4 E6 7 8 9
      5 E6 7 8 9

  2. Caríssimo Victor, achei muito interessante suas postagens, foram de grande ajuda, entretanto, gostaria de saber se, em análise combinatória, há alguma fórmula que dê todas as combinações e arranjos sem repetição possíveis de uma matriz, ou sequência. caso haja, poderia fazer uma postagem sobre, e enviar link para meu e-mail.
    Obrigado!

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