Como resolver o problema “quantos triângulos há nesta figura?”

Tenho visto coisas…

triâng

Quantos triângulos há nesta imagem?

Gente maluca que não sabe contar direito! Explico: nesses quebra-cabeças do tipo “quantos triângulos há na figura” que abundam nas redes sociais, as pessoas aparecem com as respostas mais estapafúrdias possíveis, pois têm dificuldade de:
(a) identificar triângulos (ou outra figura geométrica) quando formado por outros triângulos,
(b) visualizar o que já foi contado antes, contabilizando o mesmo triângulo mais de uma vez e
(c) conseguir explicar como chegou ao número de triângulos que diz ter certeza ser o certo.
Bom, então como estas questões às vezes aparecem em concursos, na seção denominada (ridiculamente) de “raciocínio lógico”, resolvi elaborar um método, um sistema que permita não só as pessoas contarem corretamente o número de triângulos (ou quadrados ou retângulos, etc.) corretamente como, também, mostrar e convencer outras pessoas de que sua resposta é a única e certa possível (se você ganhar alguma aposta após usar o meu sistema, por favor, envie 20% dos ganhos pra mim).
Vamos começar com um bem simples: quantos triângulos você vê na figura 01, abaixo?

Figura 01

Figura 01

Por favor, não me decepcione… Só há um triângulo!
Por que eu sei isso? Por que a definição de um triângulo é algo do tipo “figura geométrica com três lados” (onde lado quer dizer uma linha reta, ou seja: não é um triângulo a imagem da figura 02)

Figura 02

Figura 02 – isto não é um triângulo

(Foi apenas uma sobra da pizza que comi outro dia, não é um triângulo)

Vamos começar com algumas definições, pra ajudar: três retas (segmentos de reta, pra ser mais preciso) formam um triângulo (exceto se forem paralelas ou coincidentes), a interseção de 3 retas num plano determinam três pontos, que na figura 03 eu dei os nomes de A, B e C e que chamam-se “vértices”.

triângulo02

Figura 03

 

Segmentos de retas unindo estes três pontos, formam o triângulo da figura 04.
Agora algo MUITO IMPORTANTE: se eu contar 3 vértices em ordem diferente, isto não forma um novo triângulo. Os vértices A, B e C, nesta ordem, formam um único triângulo, independente de eu começar a relacionar os vértices em ordem contrária (A, depois C e depois B) ou se eu começar a contar a partir de outros vértices. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA são as 6 possíveis combinações de vértices, mas todos formam um mesmo triângulo, portanto não devem ser contados como triângulos extras! Para evitar isso, quando tivermos muitos triângulos, usaremos a ordem alfabética das letras que dão nome aos pontos para evitar que contemos duas ou mais vezes o mesmo triângulo.

Figura 04

Figura 04

Outro ponto importante, é que três pontos numa linha reta não formam um triângulo, pois ele teria área de tamanho zero.
Bom, voltemos aos testes: se eu colocar um ponto D no meio do meu primeiro triângulo e traçar retas dos pontos B ao D e do ponto C ao D, ficarei com dois triângulos, certo? Olhe a figura 5.
Observe que se eu combinar, em ordem alfabética, duas das letras (A, B, C ou D), eu só precisarei verificar se as outras letras, em ordem, formam um triângulo. Segundo a matemática, a combinação de 4 elementos 3 a 3 dá 4. Para saber quantas combinações são possíveis a partir de certo número de vértices, veja a postagem http://xek.me/?p=1049.

doistriângulo02

Figura 05

As combinações possíveis para n=4 e p=3 seriam: ABC, ABD, ACD e BCD.
Nesta figura, Começando com A e B, só posso ter as combinações ABC ou ABD, mas somente ABC forma um triângulo, já que não há uma reta entre os pontos A e D. Depois tenho a combinação ACD, que também não forma um triângulo. Eliminando as combinações que agora começam com B, sempre em ordem alfabética, só posso ter BCD como combinação (e este é o nosso segundo triângulo).

Figura 06

Figura 06 – Quantos triângulos você vê?

Vamos tentar o método para um caso mais difícil, veja a figura com 6 pontos, a figura 6. São possíveis um total de 20 combinações, n=6, p=3 e =COMBIN(6,3) dá 20 no sábio Excel.
Tente descobrir quantos triângulos há antes de ver a resposta na figura 7.

respostas

Figura 07

Por fim, o grande problema, o que já caiu em alguns concursos, a pilha de triângulos da figura 8. Quantos triângulos há?
Tente resolver sozinho e depois veja se confere…

quebra-cabeça com triângulos

Figura 08 – Tá difícil?

Então resumindo o método:
1) Crie todas as combinações possíveis de três letras de cada um dos vértices da imagem;
2) Vá descartando as combinações que não formam triângulos por não terem ligações ou por formarem um linha reta.
Ajuda: a resposta do problema da figura 8 passa por verificar as seguintes 455 combinações… Quais delas geram triângulos?

Eis a lista para verificação:
ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ, ABK, ABL, ABM, ABN, ABO, ACD, ACE, ACF, ACG, ACH, ACI, ACJ, ACK, ACL, ACM, ACN, ACO, ADE, ADF, ADG, ADH, ADI, ADJ, ADK, ADL, ADM, ADN, ADO, AEF, AEG, AEH, AEI, AEJ, AEK, AEL, AEM, AEN, AEO, AFG, AFH, AFI, AFJ, AFK, AFL, AFM, AFN, AFO, AGH, AGI, AGJ, AGK, AGL, AGM, AGN, AGO, AHI, AHJ, AHK, AHL, AHM, AHN, AHO, AIJ, AIK, AIL, AIM, AIN, AIO, AJK, AJL, AJM, AJN, AJO, AKL, AKM, AKN, AKO, ALM, ALN, ALO, AMN, AMO, ANO, BCD, BCE, BCF, BCG, BCH, BCI, BCJ, BCK, BCL, BCM, BCN, BCO, BDE, BDF, BDG, BDH, BDI, BDJ, BDK, BDL, BDM, BDN, BDO, BEF, BEG, BEH, BEI, BEJ, BEK, BEL, BEM, BEN, BEO, BFG, BFH, BFI, BFJ, BFK, BFL, BFM, BFN, BFO, BGH, BGI, BGJ, BGK, BGL, BGM, BGN, BGO, BHI, BHJ, BHK, BHL, BHM, BHN, BHO, BIJ, BIK, BIL, BIM, BIN, BIO, BJK, BJL, BJM, BJN, BJO, BKL, BKM, BKN, BKO, BLM, BLN, BLO, BMN, BMO, BNO, CDE, CDF, CDG, CDH, CDI, CDJ, CDK, CDL, CDM, CDN, CDO, CEF, CEG, CEH, CEI, CEJ, CEK, CEL, CEM, CEN, CEO, CFG, CFH, CFI, CFJ, CFK, CFL, CFM, CFN, CFO, CGH, CGI, CGJ, CGK, CGL, CGM, CGN, CGO, CHI, CHJ, CHK, CHL, CHM, CHN, CHO, CIJ, CIK, CIL, CIM, CIN, CIO, CJK, CJL, CJM, CJN, CJO, CKL, CKM, CKN, CKO, CLM, CLN, CLO, CMN, CMO, CNO, DEF, DEG, DEH, DEI, DEJ, DEK, DEL, DEM, DEN, DEO, DFG, DFH, DFI, DFJ, DFK, DFL, DFM, DFN, DFO, DGH, DGI, DGJ, DGK, DGL, DGM, DGN, DGO, DHI, DHJ, DHK, DHL, DHM, DHN, DHO, DIJ, DIK, DIL, DIM, DIN, DIO, DJK, DJL, DJM, DJN, DJO, DKL, DKM, DKN, DKO, DLM, DLN, DLO, DMN, DMO, DNO, EFG, EFH, EFI, EFJ, EFK, EFL, EFM, EFN, EFO, EGH, EGI, EGJ, EGK, EGL, EGM, EGN, EGO, EHI, EHJ, EHK, EHL, EHM, EHN, EHO, EIJ, EIK, EIL, EIM, EIN, EIO, EJK, EJL, EJM, EJN, EJO, EKL, EKM, EKN, EKO, ELM, ELN, ELO, EMN, EMO, ENO, FGH, FGI, FGJ, FGK, FGL, FGM, FGN, FGO, FHI, FHJ, FHK, FHL, FHM, FHN, FHO, FIJ, FIK, FIL, FIM, FIN, FIO, FJK, FJL, FJM, FJN, FJO, FKL, FKM, FKN, FKO, FLM, FLN, FLO, FMN, FMO, FNO, GHI, GHJ, GHK, GHL, GHM, GHN, GHO, GIJ, GIK, GIL, GIM, GIN, GIO, GJK, GJL, GJM, GJN, GJO, GKL, GKM, GKN, GKO, GLM, GLN, GLO, GMN, GMO, GNO, HIJ, HIK, HIL, HIM, HIN, HIO, HJK, HJL, HJM, HJN, HJO, HKL, HKM, HKN, HKO, HLM, HLN, HLO, HMN, HMO, HNO, IJK, IJL, IJM, IJN, IJO, IKL, IKM, IKN, IKO, ILM, ILN, ILO, IMN, IMO, INO, JKL, JKM, JKN, JKO, JLM, JLN, JLO, JMN, JMO, JNO, KLM, KLN, KLO, KMN, KMO, KNO, LMN, LMO, LNO, MNO.

Ok, esse método não se mostrou prático para grande número de triângulos, mas podia ser pior, com retângulos ficaria muito mais doido! Pelo menos o sujeito que disser que viu 51 triângulos (que não é a resposta certa) vai poder enumerar os vértices pelo nosso método antes de tentar nos convencer que sabe mais do que a gente…

Resposta:

ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ, ABK, ABL, ABM, ABN, ABO, ACD, ACE, ACF, ACG, ACH, ACI, ACJ, ACK, ACL, ACM, ACN, ACO, ADE, ADF, ADG, ADH, ADI, ADJ, ADK, ADL, ADM, ADN, ADO, AEF, AEG, AEH, AEI, AEJ, AEK, AEL, AEM, AEN, AEO, AFG, AFH, AFI, AFJ, AFK, AFL, AFM, AFN, AFO, AGH, AGI, AGJ, AGK, AGL, AGM, AGN, AGO, AHI, AHJ, AHK, AHL, AHM, AHN, AHO, AIJ, AIK, AIL, AIM, AIN, AIO, AJK, AJL, AJM, AJN, AJO, AKL, AKM, AKN, AKO, ALM, ALN, ALO, AMN, AMO, ANO, BCD, BCE, BCF, BCG, BCH, BCI, BCJ, BCK, BCL, BCM, BCN, BCO, BDE, BDF, BDG, BDH, BDI, BDJ, BDK, BDL, BDM, BDN, BDO, BEF, BEG, BEH, BEI, BEJ, BEK, BEL, BEM, BEN, BEO, BFG, BFH, BFI, BFJ, BFK, BFL, BFM, BFN, BFO, BGH, BGI, BGJ, BGK, BGL, BGM, BGN, BGO, BHI, BHJ, BHK, BHL, BHM, BHN, BHO, BIJ, BIK, BIL, BIM, BIN, BIO, BJK, BJL, BJM, BJN, BJO, BKL, BKM, BKN, BKO, BLM, BLN, BLO, BMN, BMO, BNO, CDE, CDF, CDG, CDH, CDI, CDJ, CDK, CDL, CDM, CDN, CDO, CEF, CEG, CEH, CEI, CEJ, CEK, CEL, CEM, CEN, CEO, CFG, CFH, CFI, CFJ, CFK, CFL, CFM, CFN, CFO, CGH, CGI, CGJ, CGK, CGL, CGM, CGN, CGO, CHI, CHJ, CHK, CHL, CHM, CHN, CHO, CIJ, CIK, CIL, CIM, CIN, CIO, CJK, CJL, CJM, CJN, CJO, CKL, CKM, CKN, CKO, CLM, CLN, CLO, CMN, CMO, CNO, DEF, DEG, DEH, DEI, DEJ, DEK, DEL, DEM, DEN, DEO, DFG, DFH, DFI, DFJ, DFK, DFL, DFM, DFN, DFO, DGH, DGI, DGJ, DGK, DGL, DGM, DGN, DGO, DHI, DHJ, DHK, DHL, DHM, DHN, DHO, DIJ, DIK, DIL, DIM, DIN, DIO, DJK, DJL, DJM, DJN, DJO, DKL, DKM, DKN, DKO, DLM, DLN, DLO, DMN, DMO, DNO, EFG, EFH, EFI, EFJ, EFK, EFL, EFM, EFN, EFO, EGH, EGI, EGJ, EGK, EGL, EGM, EGN, EGO, EHI, EHJ, EHK, EHL, EHM, EHN, EHO, EIJ, EIK, EIL, EIM, EIN, EIO, EJK, EJL, EJM, EJN, EJO, EKL, EKM, EKN, EKO, ELM, ELN, ELO, EMN, EMO, ENO, FGH, FGI, FGJ, FGK, FGL, FGM, FGN, FGO, FHI, FHJ, FHK, FHL, FHM, FHN, FHO, FIJ, FIK, FIL, FIM, FIN, FIO, FJK, FJL, FJM, FJN, FJO, FKL, FKM, FKN, FKO, FLM, FLN, FLO, FMN, FMO, FNO, GHI, GHJ, GHK, GHL, GHM, GHN, GHO, GIJ, GIK, GIL, GIM, GIN, GIO, GJK, GJL, GJM, GJN, GJO, GKL, GKM, GKN, GKO, GLM, GLN, GLO, GMN, GMO, GNO, HIJ, HIK, HIL, HIM, HIN, HIO, HJK, HJL, HJM, HJN, HJO, HKL, HKM, HKN, HKO, HLM, HLN, HLO, HMN, HMO, HNO, IJK, IJL, IJM, IJN, IJO, IKL, IKM, IKN, IKO, ILM, ILN, ILO, IMN, IMO, INO, JKL, JKM, JKN, JKO, JLM, JLN, JLO, JMN, JMO, JNO, KLM, KLN, KLO, KMN, KMO, KNO, LMN, LMO, LNO, MNO.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>