Permutação no Excel 2010 – Análise Combinatória

Permutação no Excel 2010 – permutação simples, permutação circular e permutação com repetição de elementos 

Nas postagens anteriores mostrei como lidar com ARRANJOS simples (http://xek.me/?p=1057) e COMBINAÇÕES simples (http://xek.me/?p=1049) sem repetição no EXCEL 2010. Chegou a vez das permutações, mas vamos aproveitar e mostrar aqui não só as PERMUTAÇÕES simples, mas também como calcular as permutações circulares e as permutações com repetição de elementos. Eis as fórmulas da permutação:

fórmulas da permutação no Excel

Acima, as fórmulas que usaremos para os diversos cálculos realizados nesta postagem tanto na matemática como sua equivalente no Excel 2010. Lembre que a função fatorial pode ser FATO( ) ou FATORIAL( ), dependendo da versão de Excel que você está usando.

permutação de bolas de 4 coresPERMUTAÇÕES SIMPLES no EXCEL

Exemplo: “tenho 4 bolas com cores diferentes, de quantas maneiras posso dispor estas 4 bolas uma do lado da outra?”

Este é um caso claro de permutação, pois uso todos os elementos n do meu conjunto, onde n=4. Veja na imagem ao lado todas as 24 permutações possíveis.

Bom, se eu tiver de desenhar bolas para calcular isso o tempo todo, vai ficar bem chato!

Ao saber que a permutação é um caso particular de arranjo em que todos os elementos estão sendo usados, podemos usar a função PERMUT(núm ; núm_escolhido) do Excel que, apesar do nome, serve mesmo é para o cálculo de arranjos. Um arranjo de núm elementos em que eu pego um subconjunto de núm_escolhido de elementos igual a núm (todos) pode ser calculado com a função PERMUT repetindo-se o número n nas duas posições como argumentos da função. A vantagem é que fica sendo independente da versão do Office que você tem na sua máquina.

Se eu colocar na célula A2 o número n e em B2 o número p, ambas as células serão preenchidas com o número 4, portanto. Na célula C2 posso usar a função =PERMUT(A2;B2). Veja abaixo a fórmula utilizada no Excel:

permutação no Excel 2010

Outra possibilidade é que, “trocando as bolas” ([trocadilho infame detectado!]), as permutações simples podem ser calculadas usando a função fatorial do Excel, mas dependendo da versão do Excel (2003, 2007 ou 2010), a função fatorial pode ser escrita como FATO(núm) ou FATORIAL(núm). Você vai ter de testar uma delas e descobrir qual. Veja abaixo como eu fiz para a minha versão, usando ainda A2 como meu número n e em C2 a função =FATO(A2):

fatorial no Excel

Não faz diferença, o resultado dará os mesmos 24 da função PERMUT, como era esperado.

Permutação Circular

Problema: “André, Bianca, Carlos e Diana, de mãos dadas formando uma roda, podem ser dispostos de quantas maneiras diferentes?”

roda de amigos

Como dá para adivinhar, é um caso de permutação circular. Na permutação simples, a resposta seria 24, mas André, Bianca, Carlos e Diana, se estiverem ocupando as posições 1, 2, 3 e 4 de um círculo, não estarão formando uma roda diferente se ocuparem as posições 2, 3, 4 e 1 ou 3, 4, 1 e 2 ou 4, 1, 2 e 3. Eles apenas giraram a roda e permaneceram na mesma posição relativa, como pode ser observado na imagem:

rodaamigos2Todos permanecendo na mesma disposição relativa não irá caracterizar um círculo diferente, vão ficar girando e girando até ficarem tontos, mas a disposição será a mesma. Portanto, o número de permutações em que se considera disposição em círculo é menor do que o número de permutações simples.

Abaixo, a resposta no Excel, usei a célula A2 com o número 4 e em B2 coloquei a fórmula =FATO(A2-1), lembrando que em outras versões do Excel, a fórmula pode ser =FATORIAL(A2-1).

permutação circular no Excel

Permutação com Elementos Repetidos

Se eu quiser saber quantos anagramas de 4 letras diferentes formo com a palavra ANEL, vou obter a resposta 24, exatamente como no problema das bolas, só que ao invés de bolas de 4 cores, terei as letras A, N, E e L no lugar de cada bola. Os 24 anagramas serão:

ANEL, NELA, ELAN, LANE, ANLE, NLEA, LEAN, EANL, NAEL, AELN, ELNA, LNAE, AENL, ENLA, NLAE, LAEN, LNEA, NEAL, EALN, ALNE, NALE, ALEN, LENA e ENAL

Mas se a palavra fosse, ao invés de ANEL, a palavra MALA? A letra A está repetida, portanto quando troco o primeiro A da palavra MALA pelo segundo A não formo um anagrama diferente. Portanto é um caso em que devo usar a formula da PERMUTAÇÃO com ELEMENTOS REPETIDOS. Para o caso de MALA, a fórmula do Excel ficaria sendo =FATO(4)/(FATO(2)) o que daria 12. Veja a fórmula para n em B3, n1 em B4 e o cálculo sendo feito em B5:

permutação com elementos repetidos no excel

Os 12 anagramas obtidos serão: MALA, ALAM, LAMA, AMAL, MAAL, AALM, ALMA, LMAA, AMLA, MLAA, LAAM e AAML.

Esse foi um caso simples, mas se eu tivesse várias letras repetidas como em ARARA em que a letra R repete duas vezes e a letra A repete 3? Quantos anagramas de 5 letras são possíveis?

Olhe os anagramas formados: RRAAA, RARAA, RAARA, RAAAR, ARRAA, ARARA, ARAAR, AARRA, AARAR e AAARR.

Nesse caso, minha fórmula teria o n=5 (5 letras) o n1 seria 2 (temos 2 letras R) e n2 seria 3 (são 3 letras A) e para os valores 5, 2 e 3 respectivamente nas células B3, B4 e B5 a fórmula no Excel ficaria:

cálculo de permutação circular no Excel

Como este problema precisa de uma fórmula montada caso a caso, o ideal seria criar uma função definida pelo usuário (usando VBA) com entradas através de um intervalo, por exemplo, como é na função SOMA do Excel. Para ver como fazer isso, o que foge um pouco do nível básico da nossa postagem, deixarei para as próximas postagens…

Na próxima postagem mostrarei os casos de Arranjos e Combinações com repetição: http://xek.me/?p=1097

Excel – Arranjo Simples: Análise Combinatória

Como eu resolvo questões de análise combinatória na versão 2010 do Excel – ARRANJO simples sem repetições?

Na última postagem (http://xek.me/?p=1049) eu mostrei como calcular combinações simples no Excel com a função COMBIN. Entretanto, se eu quiser calcular um arranjo, como faço? O Excel não tem uma função chamada ARRANJO!

8 primeiras letras do alfabetoPor exemplo: “Criei uma senha de 5 letras maiúsculas a partir das primeiras 8 letras do alfabeto. Entretanto, esqueci minha senha! Quero, por tentativa e erro, descobrir a senha que eu criei e esqueci. Quantas possíveis senhas diferentes existem para serem tentadas?”

Este é um problema de Excel – ARRANJO e não de COMBINAÇÃO, porque além de pegar um subconjunto de 5 letras de um conjunto de 8 (que como visto na postagem anterior seriam apenas 56 combinações), cada subconjunto formado pode sofrer uma permutação e será uma nova senha! ABCDE será diferente de BCDEA que será diferente de ABCED, etc. Serão 120 permutações para cada subconjunto!

Bom, o problema é que na hora de traduzir, ao invés de usar o nome ARRANJO, usaram PERMUT, que lembra permutação. A permutação é um caso de arranjo em que estamos usando todos os elementos de um conjunto (e que, igualmente, portanto, a ordem importa). A fórmula do arranjo, na matemática e a função que a calcula no Excel podem ser vistas abaixo:

Excel - Arranjo

Excel – Arranjo Simples

Como usar no EXCEL?

Simples: coloque na célula A2 o valor de n e na célula B2 o valor de p, no nosso exemplo, 8 e 5. Na célula C coloque a fórmula =PERMUT(A2;B2) conforme a imagem:

arranjo no excel

Função permut calcula arranjos

Assim que for teclado Enter, deve aparecer o resultado. Não fique chocado ao saber que mesmo usando letras maiúsculas numa senha de 5 letras que utiliza apenas as 8 primeiras letras do alfabeto, o número de senhas possíveis é enorme! O resultado também poderia ser obtido a partir do número de combinações (que era 56) multiplicado pelas permutações possíveis de cada grupo de 5 letras, ou seja, a permutação de 5 elementos dá o o fatorial de 5 (que é 120). 56*120 é o número de senhas possíveis para este problema, vai levar um bom tempo para testar todas as senhas… Mas nem são muitas, se conseguir testar uma senha a cada 10 segundos consegue achar a senha em menos de 10 horas… :-)

Que outros problemas resolvo com a fórmula do ARRANJO?

Exemplos de problemas:

1) Quantas ordenações de 4 cartas são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas em que a ordem das cartas tiradas tenha importância (n=52 e p=4);

2) A partir de um nome de 4 letras que não possua letras repetidas (Jaci, Igor, Gina, etc.) quantas “palavras” diferentes de 2 letras posso formar – supor que cada 2 letras forma uma palavra, mesmo que não tenha sentido (n=4 e p=2);

3) Considerando todas as vogais de nosso alfabeto, quantos são os encontros vocálicos (2 vogais) de vogais diferentes que são possíveis na nossa língua (n=5 p=2);

4) 10 seleções participam de uma fase eliminatória para a Copa do Mundo de Futebol, quantos possíveis jogos inaugurais posso ter, sabendo que cada jogo tem 2 seleções e que a primeira seleção escolhida tem o mando de campo (n=10 e p=2);

5) Considerando uma corrida de Fórmula 1 com 20 participantes, quais o número total de possibilidades diferentes de 3 pilotos ocuparem o pódio? Lembre que o pódio tem 3 lugares diferentes (n=20 e p=3);

6) Uma ilha tem 7 pontes, qual é o número total de maneiras distintas de chegar na ilha e sair por uma ponte diferente (n=7 e p=2).

Existem ainda casos de Arranjos com repetição (eu poderia usar letras repetidas na minha senha, por exemplo) que veremos em uma próxima oportunidade (ver postagem http://xek.me/?p=1097).

Na próxima postagem abordaremos o caso mais simples de ser resolvido no Excel – permutação. Já adiantando o que veremos na próxima postagem, num arranjo, quando n e p são iguais, temos um caso de permutação: http://xek.me/?p=1077

Análise Combinatória no Excel – Combinação Simples

Como eu resolvo exercícios de análise combinatória no Excel – COMBINAÇÃO usando o Excel 2010?

bolinhasEm um concurso que eu fiz recentemente, em uma das questões de RACIOCÍNIO LÓGICO, perguntaram: “um conjunto A tem 8 elementos distintos, quantos subconjuntos de A com 5 elementos diferentes posso criar?”

Em primeiro lugar, eu sei que é uma questão de COMBINAÇÃO e não de ARRANJO porque a ordem dos elementos nos subconjuntos não importa, trocar eles de ordem não caracterizará um subconjunto diferente. Se eu escolhesse os elementos A, B, C, D e E em outra ordem, o subconjunto ainda seria o mesmo.

Bom, esta é uma questão de análise combinatória e posso resolver no EXCEL 2010 usando a função COMBIN, que usa a seguinte fórmula matemática:

fórmula combinação no excel

Se na célula A2 eu colocar o número 8 e em B2 o número 5, na célula C2 posso usar a fórmula =COMBIN(A2;B2) (como pode ser visto na imagem):

função COMBIN do Excel

Em C2 obtenho a resposta correta: o número 56.

Que outros problemas podem ser usados por esta fórmula no Excel?

Todos os problemas de análise combinatória que envolvam combinação simples (isto é: sem repetição). Exemplos:

1) Calcular quantas combinações de números são possíveis de serem sorteados na Megasena (n=60 e p=6, basta colocar estes números em A2 e B2);

2) Quantas equipes diferentes de 11 jogadores de futebol posso colocar em campo numa convocação de 23 jogadores da seleção – supor que não existam posições certas, isto é, posso montar um time sem nenhum goleiro ou, pelo contrário, com todos os goleiros que convoquei (n=23 e p=11);

3) De quantas maneiras podemos combinar sabores de uma casquinha de sorvete com 2 bolas de sorvete se temos 12 sabores diferentes à disposição, mas não queremos duas bolas do mesmo sabor e não faz diferença que sabor vai em cima ou embaixo (n=12 e p=2);

4) Quantas combinações de livros posso escolher para levar para uma viagem, se tenho espaço para 3 livros na mala e possuo 10 livros para escolher (n=10 e p=3);

5) Uma caixa tem 6 bolas de cores diferentes, quantas combinações diferentes de 3 bolas posso tirar de lá (n=6 e p=3).

Na próxima postagem mostro como resolver problemas de arranjos no Excel 2010: http://xek.me/?p=1057