Combinação e Arranjo Com Repetição no Excel 2010

Como Calcular Combinação e Arranjo Com Repetição no Excel 2010?

1 2 3 4 5 6 7 8 9Combinação Simples (http://xek.me/?p=1049) e Arranjo Simples (http://xek.me/?p=1057) já foram vistos nas postagens anteriores, além das permutações simples, permutações circulares e permutações com repetição de elementos (http://xek.me/?p=1077). O que faltam inventar para complicar nossa cabeça? A combinação e arranjo com repetição, claro…

Em primeiro lugar vamos revisar as fórmulas necessárias para resolver a parada no nosso querido Excel, lembrando que o Excel apresenta notações diversas para fatorial, às vezes usando FATO( ) e às vezes usando FATORIAL( ) dependendo da versão utilizada:

fórmulas de combinação e arranjo no Excel

A próxima postagem fará um resumo sobre o que vimos até agora, mostrando todas as fórmulas utilizadas em todas as postagens sobre análise combinatória usando Excel – Análise Combinatória no Excel 2010: Combinação, Arranjo ou Permutação – Para vê-la, clique aqui: http://xek.me/?p=1099.

Combinação Simples

Um exemplo típico do cálculo de combinação sem repetição (simples) é tendo 9 bolas numeradas de 1 a 9 dentro de uma urna, quero saber quantos subconjuntos diferentes de 3 bolas posso formar. Este, aliás é o princípio do sorteio com bolinhas (tipo Mega Sena, bingo, etc), pois uma vez que só temos uma bolinha com cada número, a mesma não poderá ser retirada duas vezes. Já vimos como calcular isso no Excel usando a fórmula da combinação simples onde n=9 e p=3, basta colocar em qualquer célula do Excel a função =COMBIN(9,3) para obter a resposta 84.

Combinação com Repetição

Mas quando um problema assim passa ser um problema com repetições? No caso de termos várias bolas numeradas com os números 1 a 9 ou no caso em que a bolinha sorteado pudesse ser colocada de volta numa urna (por exemplo) o mesmo número poderia participar mais de uma vez do subgrupo, isto é, eu poderia ter subconjuntos como (1, 1, 1) ou (1, 1, 2), etc. Em relação ao problema mostrado na seção anterior, combinação simples, ainda temos n= 9 e p=3, mas temos de usar a fórmula da combinação com repetição.  Neste caso, o Excel não tem uma função pronta para o cálculo e teríamos de usar a fórmula =FATO(9+3-1) / (FATO(3) * FATO(9-1)) em alguma célula qualquer do Excel para obter 165. Lembre-se que em algumas versões do Excel, não usamos FATO, mas FATORIAL.

São outros problemas que envolvem combinação com repetição:

1) Uma cantina serve, numa promoção, pratos com 3 porções de alimentos que podem ser: arroz, feijão, purê, couve ou omelete. De quantas formas distintas posso montar um prato, sabendo que o cliente pode escolher qualquer alimento disponível inclusive mais de uma porção do alimento, desde que tenha exatamente 3 porções em cada prato? Resposta: n=5, p=3, Combinação com repetição (um prato com arroz, feijão e purê é o mesmo que purê, feijão e arroz, logo é combinação, mas podemos ter 2 ou 3 porções do mesmo alimento como quem gosta de feijão, feijão e feijão, logo é com repetição), portanto ficaria no Excel =FATO(5+3-1) / (FATO(3)*FATO(5-1)) ou =FATORIAL(5+3-1) / (FATORIAL(3)*FATORIAL(5-1)) que deve dar 35;

2) Uma empresa, na páscoa, pinta ovos de uma única cor, quantas alternativas há para pintar 10 ovos iguais sendo que só estão disponíveis apenas 4 cores? Resposta: mudando os ovos de lugar não muda nada e as cores podem ser repetidas, logo é um caso de Combinação com repetição com n=10 e p=4;

3) Um conjunto C={1, 2, 3, 4, 5, 6} pode formar quantos subconjuntos diferentes contendo 2 elementos? Como um subconjunto {1, 2} é o mesmo que um subconjunto {2, 1} não é um caso de arranjo, mas os conjuntos {1, 1} ou {2, 2}, por exemplo, podem ser criados, logo há repetição. É um caso de combinação com repetição com n=6 e p=2.

Arranjos Simples

Arranjo simples ou sem repetição, como já vimos em outra postagem, é um caso facilmente resolvido no Excel com a função PERMUT. Um exemplo de arranjo simples é quando quero montar tabela de jogos em que a ordem dos times tenha importância (o primeiro é o mandante do jogo). Outro caso é quando quero números a partir de um conjunto de algarismos em que não posso repetir os algarismos. O número 123 é diferente do número 321, por exemplo. Para rever como se faz, dê uma olhada na postagem sobre Arranjo Simples (http://xek.me/?p=1057).

Arranjos Com Repetição

Quando os números que quero montar a partir de algarismos podem conter algarismos repetidos tenho um caso de Arranjo com repetição.

Exemplo: com os 9 algarismos significativos (isto é, sem o zero), quero saber quantos números diferentes posso ter usando apenas 4 algarismos.

Sabemos que teremos os números de 1111 até 9999 retirando todos os números que tem algum algarismo zero… Mas como chegamos lá? Usamos a fórmula do arranjo com repetição, com n=9 e p =4 e colocaremos =POTÊNCIA(9;4) em alguma célula do Excel o que resultará em 6561.

Outros exemplos de problemas de arranjos com repetição:

1) Uma moeda é jogada 4 vezes, uma depois da outra. Quantas sequências de resultado são possíveis? n=4 p=2, use  =POTÊNCIA(4;2) no Excel;

2) Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto? n=26 p=3, use  =POTÊNCIA(26;3) no Excel;

3) Quantas senhas de 4 dígitos diferentes posso formar usando apenas os algarismos? n=10 e p=4, use  =POTÊNCIA(10;4) no Excel.

Nossa próxima postagem será a última sobre análise combinatória através do Excel – Análise Combinatória no Excel 2010: Combinação, Arranjo ou Permutação – o link é: http://xek.me/?p=1099.

Excel – Arranjo Simples: Análise Combinatória

Como eu resolvo questões de análise combinatória na versão 2010 do Excel – ARRANJO simples sem repetições?

Na última postagem (http://xek.me/?p=1049) eu mostrei como calcular combinações simples no Excel com a função COMBIN. Entretanto, se eu quiser calcular um arranjo, como faço? O Excel não tem uma função chamada ARRANJO!

8 primeiras letras do alfabetoPor exemplo: “Criei uma senha de 5 letras maiúsculas a partir das primeiras 8 letras do alfabeto. Entretanto, esqueci minha senha! Quero, por tentativa e erro, descobrir a senha que eu criei e esqueci. Quantas possíveis senhas diferentes existem para serem tentadas?”

Este é um problema de Excel – ARRANJO e não de COMBINAÇÃO, porque além de pegar um subconjunto de 5 letras de um conjunto de 8 (que como visto na postagem anterior seriam apenas 56 combinações), cada subconjunto formado pode sofrer uma permutação e será uma nova senha! ABCDE será diferente de BCDEA que será diferente de ABCED, etc. Serão 120 permutações para cada subconjunto!

Bom, o problema é que na hora de traduzir, ao invés de usar o nome ARRANJO, usaram PERMUT, que lembra permutação. A permutação é um caso de arranjo em que estamos usando todos os elementos de um conjunto (e que, igualmente, portanto, a ordem importa). A fórmula do arranjo, na matemática e a função que a calcula no Excel podem ser vistas abaixo:

Excel - Arranjo

Excel – Arranjo Simples

Como usar no EXCEL?

Simples: coloque na célula A2 o valor de n e na célula B2 o valor de p, no nosso exemplo, 8 e 5. Na célula C coloque a fórmula =PERMUT(A2;B2) conforme a imagem:

arranjo no excel

Função permut calcula arranjos

Assim que for teclado Enter, deve aparecer o resultado. Não fique chocado ao saber que mesmo usando letras maiúsculas numa senha de 5 letras que utiliza apenas as 8 primeiras letras do alfabeto, o número de senhas possíveis é enorme! O resultado também poderia ser obtido a partir do número de combinações (que era 56) multiplicado pelas permutações possíveis de cada grupo de 5 letras, ou seja, a permutação de 5 elementos dá o o fatorial de 5 (que é 120). 56*120 é o número de senhas possíveis para este problema, vai levar um bom tempo para testar todas as senhas… Mas nem são muitas, se conseguir testar uma senha a cada 10 segundos consegue achar a senha em menos de 10 horas… :-)

Que outros problemas resolvo com a fórmula do ARRANJO?

Exemplos de problemas:

1) Quantas ordenações de 4 cartas são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas em que a ordem das cartas tiradas tenha importância (n=52 e p=4);

2) A partir de um nome de 4 letras que não possua letras repetidas (Jaci, Igor, Gina, etc.) quantas “palavras” diferentes de 2 letras posso formar – supor que cada 2 letras forma uma palavra, mesmo que não tenha sentido (n=4 e p=2);

3) Considerando todas as vogais de nosso alfabeto, quantos são os encontros vocálicos (2 vogais) de vogais diferentes que são possíveis na nossa língua (n=5 p=2);

4) 10 seleções participam de uma fase eliminatória para a Copa do Mundo de Futebol, quantos possíveis jogos inaugurais posso ter, sabendo que cada jogo tem 2 seleções e que a primeira seleção escolhida tem o mando de campo (n=10 e p=2);

5) Considerando uma corrida de Fórmula 1 com 20 participantes, quais o número total de possibilidades diferentes de 3 pilotos ocuparem o pódio? Lembre que o pódio tem 3 lugares diferentes (n=20 e p=3);

6) Uma ilha tem 7 pontes, qual é o número total de maneiras distintas de chegar na ilha e sair por uma ponte diferente (n=7 e p=2).

Existem ainda casos de Arranjos com repetição (eu poderia usar letras repetidas na minha senha, por exemplo) que veremos em uma próxima oportunidade (ver postagem http://xek.me/?p=1097).

Na próxima postagem abordaremos o caso mais simples de ser resolvido no Excel – permutação. Já adiantando o que veremos na próxima postagem, num arranjo, quando n e p são iguais, temos um caso de permutação: http://xek.me/?p=1077