Combinação e Arranjo Com Repetição no Excel 2010

Como Calcular Combinação e Arranjo Com Repetição no Excel 2010?

1 2 3 4 5 6 7 8 9Combinação Simples (http://xek.me/?p=1049) e Arranjo Simples (http://xek.me/?p=1057) já foram vistos nas postagens anteriores, além das permutações simples, permutações circulares e permutações com repetição de elementos (http://xek.me/?p=1077). O que faltam inventar para complicar nossa cabeça? A combinação e arranjo com repetição, claro…

Em primeiro lugar vamos revisar as fórmulas necessárias para resolver a parada no nosso querido Excel, lembrando que o Excel apresenta notações diversas para fatorial, às vezes usando FATO( ) e às vezes usando FATORIAL( ) dependendo da versão utilizada:

fórmulas de combinação e arranjo no Excel

A próxima postagem fará um resumo sobre o que vimos até agora, mostrando todas as fórmulas utilizadas em todas as postagens sobre análise combinatória usando Excel – Análise Combinatória no Excel 2010: Combinação, Arranjo ou Permutação – Para vê-la, clique aqui: http://xek.me/?p=1099.

Combinação Simples

Um exemplo típico do cálculo de combinação sem repetição (simples) é tendo 9 bolas numeradas de 1 a 9 dentro de uma urna, quero saber quantos subconjuntos diferentes de 3 bolas posso formar. Este, aliás é o princípio do sorteio com bolinhas (tipo Mega Sena, bingo, etc), pois uma vez que só temos uma bolinha com cada número, a mesma não poderá ser retirada duas vezes. Já vimos como calcular isso no Excel usando a fórmula da combinação simples onde n=9 e p=3, basta colocar em qualquer célula do Excel a função =COMBIN(9,3) para obter a resposta 84.

Combinação com Repetição

Mas quando um problema assim passa ser um problema com repetições? No caso de termos várias bolas numeradas com os números 1 a 9 ou no caso em que a bolinha sorteado pudesse ser colocada de volta numa urna (por exemplo) o mesmo número poderia participar mais de uma vez do subgrupo, isto é, eu poderia ter subconjuntos como (1, 1, 1) ou (1, 1, 2), etc. Em relação ao problema mostrado na seção anterior, combinação simples, ainda temos n= 9 e p=3, mas temos de usar a fórmula da combinação com repetição.  Neste caso, o Excel não tem uma função pronta para o cálculo e teríamos de usar a fórmula =FATO(9+3-1) / (FATO(3) * FATO(9-1)) em alguma célula qualquer do Excel para obter 165. Lembre-se que em algumas versões do Excel, não usamos FATO, mas FATORIAL.

São outros problemas que envolvem combinação com repetição:

1) Uma cantina serve, numa promoção, pratos com 3 porções de alimentos que podem ser: arroz, feijão, purê, couve ou omelete. De quantas formas distintas posso montar um prato, sabendo que o cliente pode escolher qualquer alimento disponível inclusive mais de uma porção do alimento, desde que tenha exatamente 3 porções em cada prato? Resposta: n=5, p=3, Combinação com repetição (um prato com arroz, feijão e purê é o mesmo que purê, feijão e arroz, logo é combinação, mas podemos ter 2 ou 3 porções do mesmo alimento como quem gosta de feijão, feijão e feijão, logo é com repetição), portanto ficaria no Excel =FATO(5+3-1) / (FATO(3)*FATO(5-1)) ou =FATORIAL(5+3-1) / (FATORIAL(3)*FATORIAL(5-1)) que deve dar 35;

2) Uma empresa, na páscoa, pinta ovos de uma única cor, quantas alternativas há para pintar 10 ovos iguais sendo que só estão disponíveis apenas 4 cores? Resposta: mudando os ovos de lugar não muda nada e as cores podem ser repetidas, logo é um caso de Combinação com repetição com n=10 e p=4;

3) Um conjunto C={1, 2, 3, 4, 5, 6} pode formar quantos subconjuntos diferentes contendo 2 elementos? Como um subconjunto {1, 2} é o mesmo que um subconjunto {2, 1} não é um caso de arranjo, mas os conjuntos {1, 1} ou {2, 2}, por exemplo, podem ser criados, logo há repetição. É um caso de combinação com repetição com n=6 e p=2.

Arranjos Simples

Arranjo simples ou sem repetição, como já vimos em outra postagem, é um caso facilmente resolvido no Excel com a função PERMUT. Um exemplo de arranjo simples é quando quero montar tabela de jogos em que a ordem dos times tenha importância (o primeiro é o mandante do jogo). Outro caso é quando quero números a partir de um conjunto de algarismos em que não posso repetir os algarismos. O número 123 é diferente do número 321, por exemplo. Para rever como se faz, dê uma olhada na postagem sobre Arranjo Simples (http://xek.me/?p=1057).

Arranjos Com Repetição

Quando os números que quero montar a partir de algarismos podem conter algarismos repetidos tenho um caso de Arranjo com repetição.

Exemplo: com os 9 algarismos significativos (isto é, sem o zero), quero saber quantos números diferentes posso ter usando apenas 4 algarismos.

Sabemos que teremos os números de 1111 até 9999 retirando todos os números que tem algum algarismo zero… Mas como chegamos lá? Usamos a fórmula do arranjo com repetição, com n=9 e p =4 e colocaremos =POTÊNCIA(9;4) em alguma célula do Excel o que resultará em 6561.

Outros exemplos de problemas de arranjos com repetição:

1) Uma moeda é jogada 4 vezes, uma depois da outra. Quantas sequências de resultado são possíveis? n=4 p=2, use  =POTÊNCIA(4;2) no Excel;

2) Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto? n=26 p=3, use  =POTÊNCIA(26;3) no Excel;

3) Quantas senhas de 4 dígitos diferentes posso formar usando apenas os algarismos? n=10 e p=4, use  =POTÊNCIA(10;4) no Excel.

Nossa próxima postagem será a última sobre análise combinatória através do Excel – Análise Combinatória no Excel 2010: Combinação, Arranjo ou Permutação – o link é: http://xek.me/?p=1099.

Análise Combinatória no Excel – Combinação Simples

Como eu resolvo exercícios de análise combinatória no Excel – COMBINAÇÃO usando o Excel 2010?

bolinhasEm um concurso que eu fiz recentemente, em uma das questões de RACIOCÍNIO LÓGICO, perguntaram: “um conjunto A tem 8 elementos distintos, quantos subconjuntos de A com 5 elementos diferentes posso criar?”

Em primeiro lugar, eu sei que é uma questão de COMBINAÇÃO e não de ARRANJO porque a ordem dos elementos nos subconjuntos não importa, trocar eles de ordem não caracterizará um subconjunto diferente. Se eu escolhesse os elementos A, B, C, D e E em outra ordem, o subconjunto ainda seria o mesmo.

Bom, esta é uma questão de análise combinatória e posso resolver no EXCEL 2010 usando a função COMBIN, que usa a seguinte fórmula matemática:

fórmula combinação no excel

Se na célula A2 eu colocar o número 8 e em B2 o número 5, na célula C2 posso usar a fórmula =COMBIN(A2;B2) (como pode ser visto na imagem):

função COMBIN do Excel

Em C2 obtenho a resposta correta: o número 56.

Que outros problemas podem ser usados por esta fórmula no Excel?

Todos os problemas de análise combinatória que envolvam combinação simples (isto é: sem repetição). Exemplos:

1) Calcular quantas combinações de números são possíveis de serem sorteados na Megasena (n=60 e p=6, basta colocar estes números em A2 e B2);

2) Quantas equipes diferentes de 11 jogadores de futebol posso colocar em campo numa convocação de 23 jogadores da seleção – supor que não existam posições certas, isto é, posso montar um time sem nenhum goleiro ou, pelo contrário, com todos os goleiros que convoquei (n=23 e p=11);

3) De quantas maneiras podemos combinar sabores de uma casquinha de sorvete com 2 bolas de sorvete se temos 12 sabores diferentes à disposição, mas não queremos duas bolas do mesmo sabor e não faz diferença que sabor vai em cima ou embaixo (n=12 e p=2);

4) Quantas combinações de livros posso escolher para levar para uma viagem, se tenho espaço para 3 livros na mala e possuo 10 livros para escolher (n=10 e p=3);

5) Uma caixa tem 6 bolas de cores diferentes, quantas combinações diferentes de 3 bolas posso tirar de lá (n=6 e p=3).

Na próxima postagem mostro como resolver problemas de arranjos no Excel 2010: http://xek.me/?p=1057