Permutação no Excel 2010 – Análise Combinatória

Permutação no Excel 2010 – permutação simples, permutação circular e permutação com repetição de elementos 

Nas postagens anteriores mostrei como lidar com ARRANJOS simples (http://xek.me/?p=1057) e COMBINAÇÕES simples (http://xek.me/?p=1049) sem repetição no EXCEL 2010. Chegou a vez das permutações, mas vamos aproveitar e mostrar aqui não só as PERMUTAÇÕES simples, mas também como calcular as permutações circulares e as permutações com repetição de elementos. Eis as fórmulas da permutação:

fórmulas da permutação no Excel

Acima, as fórmulas que usaremos para os diversos cálculos realizados nesta postagem tanto na matemática como sua equivalente no Excel 2010. Lembre que a função fatorial pode ser FATO( ) ou FATORIAL( ), dependendo da versão de Excel que você está usando.

permutação de bolas de 4 coresPERMUTAÇÕES SIMPLES no EXCEL

Exemplo: “tenho 4 bolas com cores diferentes, de quantas maneiras posso dispor estas 4 bolas uma do lado da outra?”

Este é um caso claro de permutação, pois uso todos os elementos n do meu conjunto, onde n=4. Veja na imagem ao lado todas as 24 permutações possíveis.

Bom, se eu tiver de desenhar bolas para calcular isso o tempo todo, vai ficar bem chato!

Ao saber que a permutação é um caso particular de arranjo em que todos os elementos estão sendo usados, podemos usar a função PERMUT(núm ; núm_escolhido) do Excel que, apesar do nome, serve mesmo é para o cálculo de arranjos. Um arranjo de núm elementos em que eu pego um subconjunto de núm_escolhido de elementos igual a núm (todos) pode ser calculado com a função PERMUT repetindo-se o número n nas duas posições como argumentos da função. A vantagem é que fica sendo independente da versão do Office que você tem na sua máquina.

Se eu colocar na célula A2 o número n e em B2 o número p, ambas as células serão preenchidas com o número 4, portanto. Na célula C2 posso usar a função =PERMUT(A2;B2). Veja abaixo a fórmula utilizada no Excel:

permutação no Excel 2010

Outra possibilidade é que, “trocando as bolas” ([trocadilho infame detectado!]), as permutações simples podem ser calculadas usando a função fatorial do Excel, mas dependendo da versão do Excel (2003, 2007 ou 2010), a função fatorial pode ser escrita como FATO(núm) ou FATORIAL(núm). Você vai ter de testar uma delas e descobrir qual. Veja abaixo como eu fiz para a minha versão, usando ainda A2 como meu número n e em C2 a função =FATO(A2):

fatorial no Excel

Não faz diferença, o resultado dará os mesmos 24 da função PERMUT, como era esperado.

Permutação Circular

Problema: “André, Bianca, Carlos e Diana, de mãos dadas formando uma roda, podem ser dispostos de quantas maneiras diferentes?”

roda de amigos

Como dá para adivinhar, é um caso de permutação circular. Na permutação simples, a resposta seria 24, mas André, Bianca, Carlos e Diana, se estiverem ocupando as posições 1, 2, 3 e 4 de um círculo, não estarão formando uma roda diferente se ocuparem as posições 2, 3, 4 e 1 ou 3, 4, 1 e 2 ou 4, 1, 2 e 3. Eles apenas giraram a roda e permaneceram na mesma posição relativa, como pode ser observado na imagem:

rodaamigos2Todos permanecendo na mesma disposição relativa não irá caracterizar um círculo diferente, vão ficar girando e girando até ficarem tontos, mas a disposição será a mesma. Portanto, o número de permutações em que se considera disposição em círculo é menor do que o número de permutações simples.

Abaixo, a resposta no Excel, usei a célula A2 com o número 4 e em B2 coloquei a fórmula =FATO(A2-1), lembrando que em outras versões do Excel, a fórmula pode ser =FATORIAL(A2-1).

permutação circular no Excel

Permutação com Elementos Repetidos

Se eu quiser saber quantos anagramas de 4 letras diferentes formo com a palavra ANEL, vou obter a resposta 24, exatamente como no problema das bolas, só que ao invés de bolas de 4 cores, terei as letras A, N, E e L no lugar de cada bola. Os 24 anagramas serão:

ANEL, NELA, ELAN, LANE, ANLE, NLEA, LEAN, EANL, NAEL, AELN, ELNA, LNAE, AENL, ENLA, NLAE, LAEN, LNEA, NEAL, EALN, ALNE, NALE, ALEN, LENA e ENAL

Mas se a palavra fosse, ao invés de ANEL, a palavra MALA? A letra A está repetida, portanto quando troco o primeiro A da palavra MALA pelo segundo A não formo um anagrama diferente. Portanto é um caso em que devo usar a formula da PERMUTAÇÃO com ELEMENTOS REPETIDOS. Para o caso de MALA, a fórmula do Excel ficaria sendo =FATO(4)/(FATO(2)) o que daria 12. Veja a fórmula para n em B3, n1 em B4 e o cálculo sendo feito em B5:

permutação com elementos repetidos no excel

Os 12 anagramas obtidos serão: MALA, ALAM, LAMA, AMAL, MAAL, AALM, ALMA, LMAA, AMLA, MLAA, LAAM e AAML.

Esse foi um caso simples, mas se eu tivesse várias letras repetidas como em ARARA em que a letra R repete duas vezes e a letra A repete 3? Quantos anagramas de 5 letras são possíveis?

Olhe os anagramas formados: RRAAA, RARAA, RAARA, RAAAR, ARRAA, ARARA, ARAAR, AARRA, AARAR e AAARR.

Nesse caso, minha fórmula teria o n=5 (5 letras) o n1 seria 2 (temos 2 letras R) e n2 seria 3 (são 3 letras A) e para os valores 5, 2 e 3 respectivamente nas células B3, B4 e B5 a fórmula no Excel ficaria:

cálculo de permutação circular no Excel

Como este problema precisa de uma fórmula montada caso a caso, o ideal seria criar uma função definida pelo usuário (usando VBA) com entradas através de um intervalo, por exemplo, como é na função SOMA do Excel. Para ver como fazer isso, o que foge um pouco do nível básico da nossa postagem, deixarei para as próximas postagens…

Na próxima postagem mostrarei os casos de Arranjos e Combinações com repetição: http://xek.me/?p=1097